ریاضی
 
 
دوشنبه 20 آذر 1391 :: نویسنده : اشكان ودادى
دانلود فایل

پسورد:www.ts2powerpoint.mihanblog.com




نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


پنجشنبه 11 آبان 1391 :: نویسنده : اشكان ودادى

*هندسه نااقلیدسی (۳)*



برنهارد ریمان که رساله ی دکتریش را تحت راهنمایی گئوس به نگارش در آورد در یک سخنرانی در ۱۰ ژوئن ۱۸۵۴ مفهوم هندسه را در ریاضی کاملا تغییر داد. او هندسه را ساختاری متریک تلقی کرد، همچنین وی اساس هندسه ای بیضوی را که در آن خط موازی وجود ندارد را تدوین کرد. او توانست با تعریف خمیدگی و انحنای فضا تقسیم بندی ای را برای اوناع سه هندسه بیان کند، او فرض را بر این گرفت که از یک نقطه خارج یک خط اصلا نتوان خطی به موازات آن رسم کرد.
هندسه ی اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیگی و انحنا ندارد، اما نظام های هندسی لباچفسکی و ریمانی این خمیدگی را مفروض می گیرند.(مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه ی نااقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست.(در هندسه اقلیدسی ۱۸۰ درجه در لباچفسکی کمتر و در ریمانی بیشتر از آن است.)
هندسه ی هذلولی Hyperbolic Geometry از کلمه ی یونانی هیپر بالئین به معنی افزایش یافتن است که در آن فاصله ی میان نیم خط ها در اصل توازی افزایش می یابد و هندسه ی بیضوی Eltipic Geometry از کلمه ی یونانی ایپیلن به معنی کوتاه شدن است که در آن فاصله رفته رفته کم می شود و سر انجام نیم خط ها رفته رفته کم می شود و سرانجام نیم خط ها یکدیگر را می برند.
بویویی و لباچفسکی سازگاری هندسه ای را که ارائه دادند را ثابت نکردند در واقع در ۱۶۶۸ بولترامی در مقاله ای الگوی دو بعدی در فضای سه بعدی اقلیدسی برای اثبات سازگاری هندسه ی هذلولی ارائه داد. بلترامی نشان داد که چگونه میتوان این هندسه را با محدودیت هایی بر روی یک سطح اقلیدسی با انحنای پایا نمایش داد و در نتیجه چگونه هر ناسازگاری که در هندسه بویایی و لباچفسکی کشف گردیده بر ناسازگاری متناظری از هندسه ی اقلیدسی کشانیده می شود. دانشمندان بعدی نیز پیشرفت هایی را در این زمینه بوجود آوردند، دانشمندانی نظیر: کیلی، کلاین، و کلیفرد.
کیلی در رساله ی ششم درباره ی کوانتیکهای مهم خود نشان داد چگونه مفهوم فاصله می تواند بر اصل های توصیف محض بنا شود و کلاین در ۱۸۷۱، با ارایه ی تعریف مناسب از فاصله این اندیشه ها را بسط داد و از دیدگاه هندسه ی نااقلیدسی تعبیر کرد. او بود که پیشنهاد کرد که هندسه ی بویایی و لباچفسکی و هندسه ی ریمان و هندسه ی اقلیدس بترتیب هذلولی، بیضوی و سهوی نامیده شود، این اصطلاحات قبول عام یافتند.
کار اقلیدس بعدها توسط ریاضیدانان دقیق و تصحیح شد که یکی از بهترین آن ها کار هیلبرت بود که با ارائه ی ۸ اصل موضوع برای وقوع، ۴ اصل برای نسبیت، ۵ اصل برای قابلیت انطباق، اصل پیوستگی، اصل ارشمیدس و اصل توازی به نتقیح کار اقلیدس پرداخت.
شاید تا اینجا این سوال برای شما پیش آمده باشد که کدام یک از سه هندسه راستین است؟ یا به عبارتی دیگر کدام هندسه عملا فضای مادی ما را توصیف می کند؟ ما در جواب به این سوال به این سخن از کایزر قناعت می کنیم و مقاله ی خود را با آن به پایان می رسانیم: «سه هندسه از حیث استواری، سازگاری درونی، سازش پذیری داخلی، و مطابقت منطقی بین اجزای خود در یک سطحند، و این بالاترین سطحی است که آدمی بدان دست یافته است. هر سه آیین فرزندان خلف یک گوهرند: گوهر هندسه پردازی که افلاطون آن را خدایی دانسته است_ و هر سه جاویدانند. کاری که خدای هماهنگی فکری آن را الهام و تایید کرده است از میان نمی تواند رفت، و زنده جاویدان است.»

منابع:
۱) سرگذشت ریاضیات، پرویز شهریاری_تهران: نشر مهاجر، ۱۳۷۹/ صص:۷۶/۸۴
۲) هندسه ی نااقلیدسی، هارولد ا.ولف، ترجمه ی احمد بیرشک_چاپ سپر.
۳) هندسه در گذشته و حال، پرویز شهریاری_چاپ رامین.
۴) هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی، ماروین جی گرینبرگ ، ترجمه شفیعیها ، مرکز نشر دانشگاهی
۵) هندسه نا اقلیدسی، ترجمه پرویز شهریاری، انتشارات اندیشه
۶) هندسه لوباچفسکئی، آ.س. اسموگورژفسکی ،ترجمه‌ی: احمد بیرشک، انتشارات دانشگاه صنعتی شریف
۷) لوباچوفسکی هندسه نااقلیدسی، و. کاگان، ترجمه‌ی: پرویز شهریاری، انتشارات توکا
 روزنامه شرق، شماره ۸۴۰، ۱/۶/۸۵





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


پنجشنبه 11 آبان 1391 :: نویسنده : اشكان ودادى

*هندسه نااقلیدسی (۲)*



گئوس اولین شخصی بود که بطور کامل موفق به درک هندسه ی نااقلیدسی شد. یعنی همان چیزی که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پیش بینی کرده بود، ارستو مینویسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاویه های آن است این مجموع میتواند برابر با دو زاویه ی قائمه، بزرگتر و یا کوچکتر از آن باشد. و این در واقع، به زبان امروزی، مرزی است که سه گونه هندسه یعنی «هندسه ی اقلیدسی»، «هندسه ی لباچفسکی» و «هندسه ی ریمانی» را از هم جدا می کند.
گئوس در نامه ای به یکی از دوستانش به نام فوکوش بویویی نوشت:«راه من، تو و امثال ما برای اثبات اصل توازی راهی بی پایان است و موفقیتی در این کار نصیبمان نخواهد شد، حتی مطالعات من باعث شک در مورد حقیقت خود هندسه شده است.»
در این زمان لباچفسکی شش ساله بود و فیلسوفانی مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند. از طرفی گئوس نیز به دلیل موقعیت اجتماعی خود از رو دررویی با صاحب نظران اجتناب میکرد، ظاهرا او میترسید که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند. خود او میگوید:«از آن می ترسم که هرکس که نشان داده است فکر ریاضی باوری دارد، آن چه را که من میگویم بد بفهمد بلکه آن را مانند یک القای خصوصی در نظر میگیریم که به هیچ روی به اطلاع مردم نرسد و برای عموم منتشر نشود.» عده ای نیز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقاید ماتریالیستی اش و دیگری کج فهمی های روسیه ی تزاری میدانند. به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتایج کارش سبب شد که سهمی از افتخاری که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصیب دیگران شود.
گئوس هندسه ی جدیدی را که بدان پی برده بود هندسه ی نااقلیدسی نامید و در نامه ای به دوست ریاضیدانش تاور بنوس نوشت:«همه ی تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا ناسازگاری از این هندسه ی نااقلیدسی به شگفت انجامیده است. من گاهی به شوخی آرزو می کنم که ای کاش هندسه ی اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره ی مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
یانوش بویویی پسر فوکوش نیز برای اثبات اصل پنجم تلاش می کرد و پدرش همواره به او میگفت:«تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم های این راه را از اول تا به آخر میشناسم. این شب بی پایان همه ی روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فروبرده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.» اما یانوش جوان از اخطار پدرش نهراسید چرا که اندیشه های دیگری را در این رابطه در ذهنش میپروراند. سال ها بعد در نامه ای به پدرش نوشت: « من چیزهای بسیار شگفت انگیزی کشف کرده ام که مرا متحیر ساخته است….من از هیچ دنیای عجیبی خلق کرده ام.» پدر یانوش او را به تسریع در اعلام کشفی که کرده بود وادار میکرد و به او میگفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ایی دست یافته ای در انتشار آن به دو دلیل شتاب کنی. نخست آنکه اندیشه هایت ممکن است به آسانی به دیگری القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دلیل این که بنظر می رسد که بسیاری چیزها در یک زمان، در چند جا با هم کشف شده اند.» عقیده ی پدر یانوش درست بود زیرا همین اتفاق نیز افتاد که تقریبا در یک زمان و مستقل از یکدیگر هندسه هایی که از جنبه منطقی سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسیله ی گائوس در آلمان، بویایی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه کشف شد. بعد از اینکه پدر یانوش با خوشحالی برای گائوس نتایج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ی او را چنین آغاز کرد:«اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم البته برای یک لحظه دچار شگفتی خواهید شد ولی کاری به جز این نمی توانم بکنم، تمجید از آن به منزله ی تمجید از خودم است.»
اما یانوش بویویی ۲۸ ساله نتیجه ی تحقیات خود را در همان سال ها در ضمیه ی ۲۶ صفحه ای کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد.
نیکلای لباچفسکی در همان زمان در دانشگاه غازان روسیه سخنرانی ایراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانیم از سایر اصول هندسی اصل توازی را اثبات کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم، اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند
که ضمن آن شالوده ی هندسه ی هذلولی را ارایه نمود ولی متن سخنرانی دزدیده شد. او در ۱۸۲۹ محتوی کامل هندسه هذلولی را در نشریه دانشگاهی ای که به زبان روسی بود، نوشت که یازده سال بعد به آلمانی ترجمه شد.
لباچفسکی بیان کرد که از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد. او هندسه اش را در آغاز «هندسه ی انگاری» و سپس «هندسه ی عام» نام گذارد ما نیز امروزه به هندسه او هندسه ی هذلولی می گوییم. هر چند پس از فرض این هندسه بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما توانست براساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچ گونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و عقاید کانت درباره ی فضا به مثابه شهود ذهنی به مبارزه پرداخت. در واقع لباچفسکی با متزلزل ساختن «خلل پذیری» اصول اقلیدس ضربه ی سنگینی به فلسفهی کانت وارد ساخت. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسه نتیجه ی تجربه ی انسان نیست بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظر خود از خلل پذیری اصول هندسه ی اقلیدسی بعنوان نقطه ی اتکای اساسی استفاده می کرد.
و بدین صورت بود که لباچفسکی و بویویی هر دو و بطور مستقل پایه گذار هندسه ی هذلولی شدند. هندسه ای که در آن نقیض اصل توازی را بجای اصل موضوع مفروض میگیریم. این امر هندسه ی حیرت انگیزی را منجر می شود که با هندسه ی اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گائوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند، ولی تفکر پی گیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آن نیست.
کشف هندسه ی نااقلیدسی درک هندسه دان ها را به کلی دگرگون کرد همین حقیقت که هندسه ی نااقلیدسی کامل و بدون تناقض است، اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر می رسد» را از بین برد، کلماتی که تکیه کلام های هندسه دان های قدیم بود. تحلیل اصل اقلیدس که قرن ها طول کشیده بود استحکام نتایج هندسه ی مقدماتی را به کلی متزلزل کرد، این تحلیل روشن کرد که بین آن حقایق هندسه که گمان میرفت ارتباطی با یکدیگر ندارند، چه ارتباط عمیقی وجود دارد. و در نتیجه روابط فضایی در جهان مادی به نحوی نمایان شد.
به این ترتیب، دستگاه اصول و تعاریف اقلیدس بعنوان پایه ای برای ساختمان هندسه غیر کافی بود. در دنیای افکار و ایده آل های جدید، دیگر این تعاریف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمی توانسنتد پیشرفت های علوم دقیقه(فیزیک، نجوم و…) را تامین نمایند.





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


پنجشنبه 11 آبان 1391 :: نویسنده : اشكان ودادى

*هندسه نا اقلیدسی(۱)*



علم هندسه مانند همه ی علوم دیگر از مشاهده و تجربه ناشی شده و ارتباط جدی با احتیاجات اقتصادی بشر دارد. کلمه ی «هندسه» یک کلمه ی یونانی و به معنی مساحی(اندازه ی زمین) است. هندسه و مفاهیم آن از طرفی زاییده ی تجربه و احتیاج بشرند و از طرف دیگر درستی آن باز هم در صحنه ی علوم علمی مورد آزمایش و استفاده قرار می گیرد.
باور مردم از زمان یونانیان باستان تا قرن نوزدهم این بود که هندسه ی اقلیدسی، حقیقت محض و بی کاستی است که فضای مادی را بطور کامل توجیه می کند. حتی کانت اعتقاد داشت که هندسه ی اقلیدسی، ذاتی ساختار ذهن انسان است…اما هندسه دانهای قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه ی اقلیدسی تنها هندسه ی ممکن نیست، ثانیا این که هندسه فضای مادی اقلیدسی یا نا اقلیدسی است، امری تجربی است که خارج از حیطه ی ریاضیات محض می باشد و ثالثا هندسه ی اقلیدسی سازگارتر است، اگر و فقط اگر هندسه ی نااقلیدسی سازگار باشد یعنی این دو هندسه به بیانی نادقیق«به یک نسبت درستند.»


تاریخچه ی پیدایش هندسه ی نااقلیدسی:

در حدود سیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته ی تحریر در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه ی شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدس که بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدس این اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد:
«اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.»
که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارج یک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه ی مفروض میتوان رسم کرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرن انجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره ی آن آغاز گشت، این بحث ها از دو جهت بود:
۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت.
۲) بحث درباره ی اصل توازی.
اما با وجود اینکه دانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد، این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نااقلیدسی منجر شد.
می گویند اولین کسی که به استقلال اصل پنجم یا به گفته ی کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد، خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند.
بعد از آن شاهد اثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه ی مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندان ایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی، نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود.
خیام در مقاله ی اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس»
به مساله ی اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباه دانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سخت طرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت میداند و بدان اشاره می کند.
دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهی کردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولاموساکری.
ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یک قضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری میدانست که به این دلیل ساده به تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یک قرن زودتر صورت می پذیرفت.
اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکری با استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضی نرسید و در رده ی اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که وی دریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود این دلایل از نوعی بودند که بایستی به یکباره از عرصه ی هندسه و نیز از میدان هر علمی بیرون رانده شود.
پژوهش های او درباره ی نظریه ی توازی بوسیله ی رساله ای از آدرین لژاندر طی سال ها کار روی اصل توازی، به مجموعه ای از اثبات های اشتباه دست یافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده میکرد اما دو گزاره ی مهم که لژاندر ثابت کرد پایه گذار «هندسه ی مطلق» (یعنی هندسه ی مبتنی بر چهار اصل اول) بود.
اصل توازی آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن ارج نمود.





نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


پنجشنبه 11 آبان 1391 :: نویسنده : اشكان ودادى

مقدمه

علومی كه از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تكمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط كوپرنیك، برونو، كپلر و گالیله به چالش كشیده شد و از آن میان فیزیك نیوتنی بیرون آمد. چون كلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و كنكاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان كنجكاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا كلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیك از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یكی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود كه آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.

در هندسه ی اقلیدسی یكسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می كردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یك نقطه خارج از یك خط، یك خط و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند كه این اصل را می توان به عنوان یك قضیه ثابت كرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی كردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتكر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان كرد كه كاملا مطابق گزاره هایی بود كه چند قرن بعد توسط والیس و ساكری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان كردند و هندسه های نااقلیدسی شكل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.

1-5 اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون كمیت هایی در نظر می گرفتند كه در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی كوششهای را كه برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شكست مواجه می ساختند. بتدریج این نكته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشكار گردید كه تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.

بنابراین، اینكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یك وقت براتراند راسل گفته بود كه ریاضیات موضوعی است كه در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه كه می گوییم درست است.

دلیل آن این است كه برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممكن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنكه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنكه بگوییم دو نقطه فقط یك خط را مشخص می كند، می توانیم بگوییم دو آلفا یك بتا را مشخص می كند. با وجود تغییری كه در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا كه دلیل های درست به شكل نمودار بسته نیستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.

بنابراین، ریاضیات تمرینی است كاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احكامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی كهن تری كه ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و كشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جدایی اساسی دارد. این كشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.

2-5 اشكالات وارد بر هندسه اقلیدسی

هندسه ی اقلیدسی بر اساس پنچ اصل موضوع زیر شكل گرفت:

اصل اول - از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه ی دیگر كشید.

اصل دوم - هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم - می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم - همه ی زوایای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم - از یك نقطه خارج یك خط، یك خط و و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.

اصل پنجم اقلیدس كه ایجاز سایر اصول را نداشت، به هیچوجه واجد صفت بدیهی نبود. در واقع این اصل بیشتر به یك قضیه شباهت داشت تا به یك اصل. بنابراین طبیعی بود كه لزوم واقعی آن به عنوان یك اصل مورد سئوال قرار گیرد. زیرا چنین تصور می شد كه شاید بتوان آن را به عنوان یك قضیه نه اصل از سایر اصول استخراج كرد، یا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

در طول تاریخ ریاضیدانان بسیاری از جمله، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، لژاندر، فوركوش بویوئی و ... تلاش كردند اصل پنجم اقلیدس را با استفاده از سایر اصول نتیجه بگیرنر و آن را به عنوان یك قضیه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بی نتیجه بود و در اثبات دچار خطا می شدند و به نوعی همین اصل را در اثباط خود به كار می بردند. دلامبر این وضع را افتضاح هندسه نامید.

یانوش بویوئی یكی از ریاضیدانان جوانی بود كه در این را تلاش می كرد. پدر وی نیز ریاضیدانی بود كه سالها در این این مسیر تلاش كرده بود .

و طی نامه ای به پسرش نوشت: تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش كنی، من پیچ و خم این راه را از اول تا آخر می شناسم. این شب بی پایان همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به كام نابودی فرو برده است، التماس می كنم دانش موازیها را رها كنی.

ولی یانوش جوان از اخطار پدیر نهرسید، زیرا كه اندیشه ی كاملاً تازه ای را در سر می پروراند. او فرض كرد نقیض اصل توازی اقلیدس، حكم بی معنی ای نیست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جریان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضمیمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه ای از آن را برای گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.

بعدها مشخص شد كه لباچفسكی در سال 1829 كشفیات خود را در باره هندسه نااقلیدسی در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئی منتشر كرده است. و بدین ترتیب كشف هندسه های نااقلیدسی به نام بویوئی و لباچفسكی ثبت گردید.

3-5 هندسه های نا اقلیدسی

اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یك خط می توان موازی با آن رسم كرد.

نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از یك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بیش از یكی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد.

یك - هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسكی بطور مستقل و همزمان كشف گردید.

اصل توازی هندسه هذلولوی - از یك خط و یك نقطه ی نا واقع بر آن دست كم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم كرد.

دو - هندسه های بیضوی

در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد كه اگر نامتناهی بودن خط مستقیم كنار گذاشته شود و صرفاً بی كرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.

اصل توازی هندسه بیضوی - از یك نقطه ناواقع بر یك خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم كرد.

یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یك كره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح كروی را مشابه یك صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه كره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیك یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یك دایره عظیمه است.

در هندسه بیضوی مجموع زوایای یك مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حركت از یك نقطه و پیمودن یك خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید كه در هندسه بیضوی نسبت محیط یك دایره به قطر آن همواره كمتر از عدد پی است.

4-5 انحنای سطح یا انحنای گائوسی

اگر خط را راست فرض كنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یك انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یك دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.

تعریف می كنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر كند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.

برای به دست آوردن انحنای یك منحنی در یك نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یك نقطه از منحنی، دایره ای است كه در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود كه برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یك سطح در یك نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب كرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می كنیم. فرض كنیم انحنای این دو خط

k1=1/R1 and k2=1/R2

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی :

k=1/R1R2

انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است:

k=o

برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است :

k

برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است :

k>o

در جدول زیر هر سه هندسه ها با یكدیگر مقایسه شده اند:


نوع هندسه
تعداد خطوط موازی
مجموع زوایای مثللث
نسبت محیط به قطر دایره
اندازه انحنا
اقلیدسی
یك
180
عدد پی
صفر
هذلولوی
بینهایت
< 180
> عدد پی
منفی
بیضوی
صفر
> 180
< عدد پی
مثبت



4-6 مفهوم و درك شهودی انحنای فضا

سئوال اساسی این است كه كدام یك از این هندسه های اقلیدسی یا نا اقلیدسی درست است؟

پاسخ صریح و روشن این است كه باید انحنای یك سطح را تعیین كنیم تا مشخص شود كدام یك درست است. بهترین دانشی كا می تواند در شناخت نوع هندسه ی یك سطح مورد استفاده و استناد قرار گیرد، فیزیك است. یك صفحه ی كاغذ بردارید و در روی آن دو خط متقاطع رسم كنید. سپس انحنای این خطوط را در آن نقطه تعیین كرده و با توجه به تعریف انحنای سطح حاصلضرب آن را به دست می آوریم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقلیدسی است، اگر منفی شد می گوییم صفحه هذلولوی است و در صورتی كه مثبت شود، ادعا می كنیم كه صفحه بیضوی است .

در كارهای معمولی مهندسی نظیر ایجاد ساختمان یا ساختن یك سد بر روی رودخانه، انحنای سطح مورد نظر برابر صفر است، به همین دلیل در طول تلریخ مهندسین همواره از هندسه اقلیدسی استفاده كرده اند و با هیچگونه مشكلی هم مواجه نشدند. یا برای نقشه برداری از سطح یك كشور اصول هندسه ی اقلیدسی را بكار می برند و فراز و نشیب نقاط مختلف آن را مشخص می كنند. در این محاسبات ما می توانیم از خطكش هایی كه در آزمایشگاه یا كارخانه ها ساخته می شود، استفاده كنیم. حال سئوال این است كه اگر خطكش مورد استفاده ی ما تحت تاثیر شرایط محیطی قرار بگیرد چه باید كرد؟ اما می دانیم از هر ماده ای كه برای ساختن خطكش استفاده كنیم، شرایط فیزیكی محیط بر روی آن اثر می گذارد. البته با توجه با تاثیر محیط بر روی خطكش ما تلاش می كنیم از بهترین ماده ی ممكن استفاده كنیم. بهمین دلیل چوب از لاستیك بهتر است و آهن بهتر از چوب است.

اما برای مصافتهای دور نظیر فواصل نجومی از چه خطكشی (متری) می توانیم استفاده كنیم؟ طبیعی است كه در اینجا هیچ خطكشی وجود ندارد كه بتوانیم با استفاده از آن فاصله ی بین زمین و ماه یا ستارگان را اندازه بگیریم. بنابراین باید به سایر امكاناتی توجه كنیم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اینجا چه امكاناتی داریم؟ بهترین ابزار شناخته شده امواج الكترومغناطیسی است. اگر مسیر نور در فضا خط مستقیم باشد، در اینصورت با جرت می توانیم ادعا كنیم كه فضا اقلیدسی است. برای پی بردن به نوع انحنای فضا باید مسیر پرتو نوری را مورد بررسی قرار دهیم .

اما تجربه نشان می دهد كه مسیر نور هنگام عبور از كنار ماده یعنی زمانی كه از یك میدان گرانشی عبور می كند، خط مستقیم نیست، بلكه منحنی است. بنابراین فضای اطراف اجسام اقلیدسی نیست. به عبارت دیگر ساختار هندسی فضا نااقلیدسی است.







نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :


هندسه نااقلیدسى و نسبیت عام اینشتین                
============================
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقلیدس یگانه نظامى است كه امكان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى كردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یك خط و تنها یك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بیش از یك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا كه كوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یك منحنى است.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد كه هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یك كره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد كه نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیكدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مكان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشكارى میان ریاضیات محض و ریاضیات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است كه به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه كاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حركت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده كرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یك صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یك چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلكه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است كه سطح كرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى كوتاه ترین خطوط بین نقاط حركت مى كند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یك نیرو نیست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشیا اطلاق مى كنیم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد كه ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده كنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند كه به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه كرد به طورى كه شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى كه اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند كه پدیده هایى سازگار با زمان - مكان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است كه نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظریه هایى كه بدین طریق به دست مى آوریم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل كافى براى رد آنها وجود دارد؟




نوع مطلب :
برچسب ها :
لینک های مرتبط :




درباره وبلاگ



مدیر وبلاگ : اشكان ودادى
نویسندگان
جستجو

آمار وبلاگ
کل بازدید :
بازدید امروز :
بازدید دیروز :
بازدید این ماه :
بازدید ماه قبل :
تعداد نویسندگان :
تعداد کل پست ها :
آخرین بازدید :
آخرین بروز رسانی :

                    
 
 
 
ساخت وبلاگ در میهن بلاگ

شبکه اجتماعی فارسی کلوب | ساخت وبلاگ صوتی صدالاگ | سوال و جواب و پاسخ | رسانه فروردین، تبلیغات اینترنتی، رپرتاژ، بنر، سئو | Buy Website Traffic